x(t)、y(t) 各是一個傅立葉級數,第 k 項是一個以 k 倍速旋轉的圓。

N = 12誤差 —
X 分量Y 分量重建路徑
x 0.000 · y 0.000
描繪進度0%
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公式

x(t) 與 y(t) 各有 2N + 1 個係數。「複製公式」得到純文字,「匯出 JSON」另含完整精度係數與 1,024 個取樣點。

X
x(t) = cₓ + Σ [aₖ cos(kt) + bₖ sin(kt)]
Y
y(t) = cᵧ + Σ [cₖ cos(kt) + dₖ sin(kt)]
t ∈ [0, 2π]
係數表 12 階 · 每軸 25 個係數

座標等比例縮放,外框最長邊為 2,Y 軸向上。常數項:。係數以小數點後 6 位顯示,匯出保留完整精度。

階數 kX · cos(kt)X · sin(kt)Y · cos(kt)Y · sin(kt)

運作方式

路徑先依弧長等距取 1,024 點,再對 x、y 分別計算離散傅立葉係數。

  1. 手繪:按住拖曳,放開後計算。勾選「平滑手繪筆跡」時,會先去除抖動再取樣。
  2. 圖片:拖放、貼上或選擇圖片,取最大主體的外輪廓。主體與背景對比越高越準;可用明暗門檻與反轉調整。
  3. 階數 N:保留第 1 到 N 階諧波,N = 0 只保留平均位置。每軸有 2N + 1 個純量係數。
  4. 旋轉圓:第 k 階以 k 倍速度旋轉,半徑為 √(aₖ² + bₖ²)。X 鏈取水平投影、Y 鏈取垂直投影,交點就是重建座標。
誤差 = 100 × √mean[(x − x̂)² + (y − ŷ)²] ÷ 外框對角線

誤差比較同一參數位置的 1,024 個取樣點,不是面積差,也不是辨識正確率。誤差隨 N 單調不增;N = 256 時仍可能不為零。

勾選「連接起點與終點」時,末點以直線接回起點。關閉後沿原路往返,適合未封閉的線條。所有圖形與圖片運算都在瀏覽器內完成,圖片不會上傳,也不會被儲存。

快捷鍵:空白鍵播放/暫停;R 重新播放。